Решение квадратных уравнений

Школьный курс математики  зачастую формализован до невозможности, хотя в этой науке даже на уровне арифметики, не говоря уж об алгебре, есть элегантные подходы, упрощающие решение задач. Один из них — теорема Виета, которая позволяет решать квадратное уравнение без громоздких расчетов.

Конечно, решение «в уме» возможно далеко не всегда, но иногда его удается получить буквально за несколько простых действий. Давайте разберемся, как и когда применяется теорема Виета.

Классическое решение теоремы Виета

Для нахождения корней квадратного уравнения типа ax² + bx +c = 0 и его вариаций обычно используется схема с дискриминантом. Напомним, х — неизвестная величина, a, b и c — коэффициенты (для простоты примем, что это вещественные числа).

Пример 1

В качестве примера возьмем уравнение:

• 4x² — 3x -1 = 0.

Найдем дискриминант по формуле:

• D = b²-4ac = (-3)² – 4 ∙ 4 ∙ (-1) = 9 + 16 = 25 .

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня. Корни находим из выражения:

• 𝑥_1,2 = (−𝑏 ± √D)/(2𝑎) = (-(-3) ± √25) / (2 ∙ 4) = (3 ± 5) / 8.

Найдем первый корень:

• 𝑥₁ = (−𝑏 + √D)/(2𝑎) = (-(-3) + √25) / (2 ∙ 4) = (3 + 5) / 8 = 8 / 8 = 1.

Найдем второй корень:

• 𝑥₂ = (−𝑏 — √D)/(2𝑎) = (-(-3) — √25) / (2 ∙ 4) = (3 — 5) / 8 = 2 / 8 = -¼.
• Ответ: 𝑥₁ = 1; 𝑥₂ = -¼.

Этот ход решения заучивают все школьники, поскольку оно позволяет однозначно решить квадратное уравнение любого вида, если оно имеет корни, то есть при неотрицательном дискриминанте.

Почему теорема Виета?

Теорема названа в честь французского математика Франсуа Виета (Франциска Виета), который стоял у истоков символической алгебры. Этот замечательный человек был не только ученым, но и государственным чиновником, числившимся в советниках у двух французских королей.

Однажды по поручению Генриха IV Франциск (именно под этим латинизированным именем изданы его работы) применил свои математические знания для расшифровки сообщений шпионов к испанскому монарху Филиппу II. Король Испании был настолько удивлен, что приписал интеллектуальные заслуги Виета его связям с дьяволом.

А это была всего лишь математика.

В книге славы этой науки Виет оставил несколько золотых строк. Безусловно, самым значимым его достижением является «изобретение» символической алгебры, с которой приходится «бороться» современным школьникам.

В рамках своих изысканий ученый предложил несколько универсальных выражений, среди которых и формулы, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами. В случае квадратного уравнения типа ax² + bx +c = 0 решение выглядит следующим образом:

• х₁+ х₂ = — b/a     и     х₁∙ х₂ = c/a.

Оба условия должны выполняться одновременно. Если а = 1, то есть уравнение принимает вид x² + bx +c = 0, то система уравнений преобразуется следующим образом:

• х₁+ х₂ = — b     и     х₁∙ х₂ = c.

Пример 2.

Найти корни уравнения 4x² — 3x -1 = 0 из предыдущего примера.

Решение

Решение этого уравнения требует не выполнения определенных инструкций, а логического мышления. Запишем рядом само уравнение и формулы Виета:

• 4x² — 3x -1 = 0,
• х₁+ х₂ = — b/a     и     х₁∙ х₂ = c/a.

Преобразуем его с учетом коэффициентов:

• 4x² — 3x -1 = 0,
• х₁+ х₂ = -(-3) / 4     и     х₁∙ х₂ = (-1) / 4,

или

• 4x² — 3x -1 = 0,
• х₁+ х₂ = ¾      и     х₁∙ х₂ = — ¼.

Постараемся подобрать такие х₁ и х₂, чтобы указанные выше равенства выполнялись. Очевидно, что при х₁ = 1 и х₂ = — ¼ первое выражение обращается в ¾, а второе в — ¼.

• 4x² — 3x -1 = 0,
• х₁+ х₂ = 1 + (- ¼) = 1 — ¼ = ¾   и   х₁∙ х₂ = 1 ∙  (- ¼) = — ¼.

Корни уравнения совпадают с ответом, полученным в примере 1, значит мы решили задачу правильно. Для проверки нужно подставить корни в исходный пример и, если левая часть обращается в 0, то корень найден верно:

Для 𝑥₁ = 1:

• 4x² — 3x -1 = 4 ∙ 1² – 3 ∙ 1 – 1  = 4 – 3 – 1 = 0.

Для  𝑥₂ = -¼:

• 4x² — 3x -1 = 4 ∙ (-¼)² – 3 ∙  (-¼) – 1 =  4 ∙ (1/16) + ¾ -1 = 4/16 + ¾ -1 = ¼ + ¾ -1 =  0.

Таким образом задача решается без необходимости вычислять дискриминант и отдельно считать корни уравнения. Можно сказать, что ответ получен на интуитивном уровне, что позволило упростить определенный вид деятельности. Это достоинство и недостаток теоремы Виета.

С одной стороны формулы позволяют ученику экономить время, а с другой — далеко не всегда ответ можно быстро подобрать с помощью этого метода. Поэтому применение теоремы Виета требует тренировки и наличия логического математического мышления, вернее необходимости его сформировать на уроках математики.

Пример 3. Решить уравнение x² — 6x +8 = 0.

Замечаем, что в этом варианте уравнение коэффициент а = 1, тогда можно воспользоваться сокращенной записью теоремы Виета.

• x² + bx +c = 0,
• х₁+ х₂ = — b     и     х₁∙ х₂ = c.

Запишем это решение для нашего примера:

• x² — 6x +8 = 0,
• х₁+ х₂ = — (-6) = 6     и     х₁∙ х₂ = 8.

Путем несложных рассуждений можно вычислить, что корни будут равны 𝑥₁ = 2 и 𝑥₂ = 4.

• x² — 6x +8 = 0,
• х₁+ х₂ = 2 + 4 = 6 = — b         и     х₁∙ х₂ = 2 ∙ 4 = 8 = c.

Ответ: 𝑥₁ = 2; 𝑥₂ = 4.

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:

Остались вопросы? Задайте их эксперту!

Владислав Барышников

Эксперт по подготовке к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР

Задать вопрос

Закончил Московский физико-технический институт (Физтех) по специальности прикладная физика и математика. Магистр физико-математических наук. Преподавательский стаж более 13 лет. Соучредитель курсов ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu.

Комментарии читателей: