Задание 12 по профильной математике: как решать задачи на производную и экстремумы

Задачи на производную в профильной математике проверяют не столько умение долго считать, сколько понимание связи между формулой функции и ее поведением. Обычно нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции, точку экстремума, промежутки возрастания и убывания или решить прикладную задачу на оптимизацию.

Главная идея проста: производная показывает, как меняется функция. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает. Там, где знак производной меняется, может появиться максимум или минимум. Разберем алгоритмы, которые чаще всего нужны при решении задания 12.

Что нужно помнить о производной

Производная функции f(x) обозначается f′(x). Для экзамена особенно важны три правила интерпретации:

• если f′(x) > 0 на промежутке, то f(x) возрастает на этом промежутке;
• если f′(x) < 0 на промежутке, то f(x) убывает;
• если при переходе через точку знак производной меняется, в этой точке может быть экстремум.

Точка максимума получается, когда функция сначала возрастает, а потом убывает: знак производной меняется с «+» на «−». Точка минимума получается, когда функция сначала убывает, а потом возрастает: знак меняется с «−» на «+».

Важно различать два близких понятия. Точка экстремума — это значение аргумента x. Экстремум функции — это значение самой функции f(x) в этой точке. Если в ответе спрашивают точку максимума, пишем x. Если спрашивают наибольшее значение функции, подставляем x в исходную функцию.

Алгоритм для наибольшего и наименьшего значения на отрезке

Если дана функция и отрезок, например [a; b], действует стандартный план:

1. Найти производную f′(x).
2. Решить уравнение f′(x) = 0.
3. Выбрать только те критические точки, которые лежат на данном отрезке.
4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные числа и выбрать нужное: максимум или минимум.

Почему обязательно проверять концы отрезка? Потому что наибольшее или наименьшее значение на отрезке может находиться не в точке, где производная равна нулю, а именно на границе.

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³ − 3x² − 9x + 7 на отрезке [−2; 4].

Сначала считаем производную:

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1).

Решаем f′(x) = 0. Получаем x = −1 и x = 3. Обе точки лежат на отрезке [−2; 4]. Теперь считаем значения функции в четырех точках: на концах и в критических точках.

• f(−2) = 5;
• f(−1) = 12;
• f(3) = −20;
• f(4) = −13.

Значит, наибольшее значение равно 12, а наименьшее равно −20. Если в задаче спрашивали именно наибольшее значение, ответ — 12; если наименьшее — −20.

Как определить максимум и минимум по знакам производной

В задачах может быть дана не сама функция, а информация о производной: формула f′(x), график производной или таблица знаков. Тогда нужно анализировать не значения f′(x) сами по себе, а их знаки на промежутках.

Общий алгоритм такой:

1. Найти точки, где f′(x) = 0 или производная не существует, но сама функция определена.
2. Разбить область определения на промежутки этими точками.
3. Определить знак производной на каждом промежутке.
4. Посмотреть, где знак меняется с «+» на «−» или с «−» на «+».

Пример. Пусть производная имеет вид

g′(x) = ((x − 2)(x + 1)) / (x − 4)², x ≠ 4.

Нули производной: x = −1 и x = 2. Точка x = 4 не входит в область определения этой производной; если исходная функция в ней тоже не определена, экстремума там быть не может.

Знаменатель (x − 4)² положителен при x ≠ 4, поэтому знак производной зависит от числителя (x − 2)(x + 1). Получаем:

• на промежутке (−∞; −1) производная положительна;
• на промежутке (−1; 2) производная отрицательна;
• на промежутках (2; 4) и (4; +∞) производная положительна.

В точке x = −1 знак меняется с «+» на «−», значит, это точка максимума. В точке x = 2 знак меняется с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Типичные ловушки в задачах на экстремумы

Ошибки в этом задании часто появляются не из-за сложной производной, а из-за невнимательности к формулировке. Вот что важно проверять каждый раз.

• Что требуется найти. Точка максимума — это x, а наибольшее значение — это f(x). Это разные ответы.
• Есть ли отрезок. На отрезке нужно проверять концы. На интервале концы не входят в область рассмотрения.
• Что входит в область определения. Логарифмы, дроби, корни и тригонометрические выражения могут ограничивать допустимые x.
• Меняется ли знак производной. Если f′(x) = 0, но знак не изменился, экстремума в этой точке может не быть.
• Не перепутан график функции и график производной. Если дан график f′(x), то участки выше оси Ox означают возрастание f(x), а ниже оси — убывание f(x).

Прикладные задачи на оптимизацию

Иногда условие описывает реальную ситуацию: площадь, объем, стоимость, скорость, расстояние. Тогда сначала нужно составить функцию, которую требуется максимизировать или минимизировать, а уже потом применять производную.

План решения:

1. Выбрать переменную x и записать ограничения: x > 0, x ∈ [a; b] и так далее.
2. Составить функцию, значение которой нужно найти: площадь, прибыль, длину, время.
3. Найти производную и критические точки.
4. Проверить, какая из точек подходит по смыслу задачи.
5. Ответить именно на вопрос условия.

Пример. Нужно найти наименьшее значение функции h(x) = x + 16 / x при x > 0.

Считаем производную:

h′(x) = 1 − 16 / x².

Решаем h′(x) = 0:

1 − 16 / x² = 0, значит x² = 16. С учетом условия x > 0 подходит только x = 4.

При x < 4 производная отрицательна, при x > 4 положительна. Значит, в точке x = 4 функция достигает минимума. Наименьшее значение:

h(4) = 4 + 16 / 4 = 8.

Ответ: 8.

Как оформить решение на экзамене

В задачах с кратким ответом важно получить правильное число, но аккуратная запись помогает не потеряться в вычислениях. Удобный шаблон выглядит так:

• записать область определения, если она не очевидна;
• найти производную;
• решить уравнение f′(x) = 0;
• отобрать подходящие точки;
• сравнить значения функции или составить таблицу знаков;
• записать ответ в требуемом виде.

Если задача взята из актуального экзаменационного формата, полезно сверять формулировки с открытыми материалами ФИПИ: там можно увидеть, как именно задают вопросы на производную и экстремумы. Но базовые методы остаются одинаковыми: производная, критические точки, знаки и проверка ответа по условию.

Короткая памятка

• f′(x) > 0 — функция возрастает.
• f′(x) < 0 — функция убывает.
• «+» → «−» — точка максимума.
• «−» → «+» — точка минимума.
• На отрезке всегда проверяем концы.
• Точка экстремума — это x, значение экстремума — это f(x).

Чтобы уверенно решать задание 12, нужно довести алгоритмы до автоматизма. Большая часть таких задач сводится к нескольким действиям: найти производную, разобраться со знаками и внимательно прочитать, что именно требуется записать в ответ.

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:

Остались вопросы? Задайте их эксперту!

Владислав Барышников

Эксперт по подготовке к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР

Задать вопрос

Закончил Московский физико-технический институт (Физтех) по специальности прикладная физика и математика. Магистр физико-математических наук. Преподавательский стаж более 13 лет. Соучредитель курсов ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu.