Что такое арифметическая прогрессия?
Содержание
ОГЭ по математике — комплекс заданий по всему курсу математики до 9 класса. Для получения высокой оценки важно освоить все темы, в том числе и раздел «Числовые последовательности».
Для этого необходимо разобраться, что такое арифметическая прогрессия. Тема непростая, но мы попробуем сделать ее доступной для понимания, в том числе и на конкретных примерах из ОГЭ.
Что такое арифметическая прогрессия
Говоря об арифметической прогрессии, следует остановиться на понятии «числовая последовательность». В математическом смысле это набор чисел, которые расположены в определенном порядке. Каждый элемент в этом наборе имеет свой порядковый номер, благодаря которому четко идентифицируется его «положение» в последовательности.
Примером может служить конечная (состоящая из определенного числа элементов) последовательность — код для разблокирования смартфона.
Для осуществления этой операции необходимо ввести цифры в определенном – и только в этом порядке. Если нарушить порядок и вместо «1894» набрать «1849», смартфон не разблокируется. Существуют и бесконечные последовательности, которые не ограничены определенным количеством элементов.
Не забудем, что математика помогает упорядочить различные явления, в том числе и последовательности. Наиболее «важными» с точки зрения обывателя и ученика, сдающего ОГЭ, являются последовательности следующего вида:
- арифметическая — последовательность, в которой каждый последующий член (элемент) отличается от предыдущего на одно и то же число;
- геометрическая — последовательность, в которой каждый последующий член (элемент) отличается от предыдущего в одно и то же количество раз.
О геометрической прогрессии мы поговорим в следующий раз, хотя и она очень интересна. К примеру, с этим видом последовательности связана одна из известнейших математических задач о мудреце Сиссе ибн Дахире и изобретенных им шахматах.
Помните, как король согласился заплатить удвоенное количество зерен за каждую шахматную клетку? Видимо, он не знал свойств геометрической прогрессии, да и арифметической тоже, но правителям это простительно, а вот участникам ОГЭ такие вещи пригодятся.
«Расчет» арифметической прогрессии
Запишем простейшую арифметическую прогрессию:
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…
Очевидно, что в ней каждый следующий член отличается от предыдущего на одну единицу. Это отличие называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d. Зная это значение и один из членов, например n-й («энный») член an, можно найти последующий an+1 или предыдущий an-1 элемент:
- an+1 = an + d
- an-1 = an — d
Более того, каждый «средний» член такой прогрессии является средним арифметическим своих соседей. Именно поэтому такая последовательность носит название «арифметическая прогрессия»:
- an = (an-1 + an+1)/2
Зная свойства арифметической прогрессии, можно рассчитать:
- сумму нескольких ее членов;
- любой из членов, если известен первый член;
- первый член, если известен n-й член.
Для этого можно не запоминать формулы из учебника, ведь они приведены в справочной части контрольных измерительных материалов к ОГЭ. Впрочем, лучше понять логику последовательностей и тогда вы всегда сможете самостоятельно вывести формулы для расчета.
Часто арифметическая прогрессия используется не для простого расчета чисел, а как теоретическая основа для решения практических задач (в том числе и на ОГЭ по математике ), о чем мы поговорим в следующем разделе.
Билеты с арифметической прогрессией на ОГЭ
Как правило, в формулировке заданий ОГЭ прямо не указано, что для поиска ответа нужно использовать навыки работы с арифметическими прогрессиями. Ученик должен сам догадаться об этом, прочитав условие. Для примера возьмем задачу из банка заданий ФИПИ.
Внимательно вчитаемся в условие. У нас есть количество мест в первом ряду — это первый член последовательности a1 = 20. Также в задаче дано увеличение количества мест в каждом последующем ряду — это разность арифметической прогрессии d = 3. Для расчета воспользуемся формулой расчета значения n-ого (в нашем случае десятого, то есть n = 10) члена арифметической прогрессии:
- an = a1 + d (n-1) = 20 + 3 (10-1) = 47 мест.
Другой тип задач ориентирован на расчет суммы нескольких членов арифметической прогрессии. В задаче с амфитеатром нам дано 11 рядов — это количество членов арифметической прогрессии n = 11.
Также у нас есть количество мест в первом ряду — это первый член последовательности a1 = 16. В задаче дано и увеличение количества мест в каждом последующем ряду — это разность арифметической прогрессии d = 3. Для расчета общего числа мест в амфитеатре воспользуемся формулой расчета суммы первых n членов арифметической прогрессии:
- Sn = ((a1 + an) n)/2
В этом выражении неизвестно значение an, которое рассчитывается по уже известной нам из предыдущего примера формуле:
- an = a1 + d (n-1) = 16 + 3 (11-1) = 46 мест.
Зная количество мест в последнем ряду, подставим его в выражение для расчета суммы первых n членов арифметической прогрессии:
- Sn = ((a1 + an) n)/2 = ((16 + 46) 11)/2 = 341 место.
Эту же задачу можно решить «в одну формулу», но мы воспользовались теми выражениями, которые даны в справочной части контрольных измерительных материалов к ОГЭ.
Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:
