Чем примечательна гипербола?
Содержание
Гипербола — одно из наиболее сложных понятий в школьном курсе математики за 8 класс, точнее уже алгебры. Возможно, играет роль сбивающий с толку «синоним» из курса литературы, возможно, сложно понять смысл слова «асимптота», но школьнику сложно освоить построение и в сравнении с параболой.
Чтобы раз и навсегда разобраться с этим вопросом, мы начнем не с школьного определения гиперболы, а с построения графика. Более того, этот график не будет гиперболой.
Прямая пропорциональность
Большинство школьников хорошо понимают понятие «прямая пропорциональность», поскольку оно согласуется с их бытовым опытом. Чем больше вы работаете, тем лучше оценки, то есть уровень оценок прямо пропорционален времени обучения. С математической точки зрения эта зависимость выглядит следующим образом.
Пример: у бога грома Тора есть молот (этот инструмент называется «Мьёльнир»), который, будучи брошенным, всегда возвращается к своему хозяину. Но летает Мьёльнир с постоянной скоростью — за секунду он преодолевает 5 км. В первый раз Тор бросил молот (в Локи) и поймал через 5 секунд (Локи увернулся). Во второй раз Тор бросил молот и поймал через 10 секунд (вновь не попал в бога хитрости). Какое расстояние молот пролетел в первый и второй раз.
Решение
В нашей задаче изменяется время полета молота — обозначим эту величину «х». Расстояние полета Мьёльнира будет «y». В нашем случае эти две величины связаны постоянной скоростью полета молота — то есть коэффициентом пропорциональности k, который для данной задачи равен 5.
Если нанести эти данные на график, где по оси абсцисс будет x, а по оси ординат — y, то получится прямая с определенным наклоном, угол которого относительно оси абсцисс зависит от коэффициента k и для нашего случая составляет 45°. При отрицательном значении k прямая будет наклонена под 135°к оси х.
Если экстраполировать (продлить по тому же закону) обе стороны прямой, то можно сделать простой вывод: чем дольше летит молот, тем больше он пролетает.
Обратная пропорциональность
Внимательный читатель уже понял, что если есть прямая пропорциональность, то должна быть и обратная, при которой с возрастанием х будет убывать у (чем больше траты, тем меньше денег). Правильно, такая зависимость существует и выражается следующим образом:
Проанализируем указанное выше выражение:
- х может быть любым, кроме 0 (потому что НА 0 ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ);
- при k = 0 при любом значении х у = 0.
Рассмотрим все остальные случаи, то есть условие при k≠0. Примем коэффициент пропорциональности k = 5 (как в предыдущем примере) и подставив значения х от -10 до 10, нанесем полученные точки на график.
| х | -10 | -5 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 |
| у | -0,5 | -1 | -1,25 | -2,5 | -5 | 5 | 2,5 | 1,25 | 1 | 0,5 |
Полученная совокупность точек и называется гиперболой.
Чем примечательна гипербола?
Если мы проанализируем полученный график, то увидим, что гипербола состоит из двух ветвей с достаточно характерными особенностями:
- ветви симметричны;
- каждая ветвь симметрична относительно прямой, лежащей под углом 45° к оси абсцисс;
- ветви находятся в I и III четвертях.
Если мы продолжим подставлять значения х в уравнение , то заметим, что ветви приближаются к осям х и у, но не пересекают их. Вот почему так происходит:
- х не может принимать значение 0 по математическим соображениям;
- k не может принимать значение 0 (мы сами исключили этот вариант);
- у не может обращаться в 0.
Внимание: исключение значения k = 0 является неким самообманом, поэтому каноническое уравнение гиперболы отличается от школьного.
Оси абсцисс и ординат выполняют для гиперболы роль асимптоты — линии, к которой кривая бесконечно приближается, но не может коснуться. Говорят, что ветви гиперболы асимптотически приближаются к осям x и y. Асимптоты есть и у других кривых.
Попробуем рассмотреть нашу обратную пропорциональность пристальней — поменяем знак коэффициента k.
Подставим значения х от -10 до 10, нанесем полученные точки на график.
| х | -10 | -5 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 |
| у | 0,5 | 1 | 1,25 | 2,5 | 5 | -5 | -2,5 | -1,25 | -1 | -0,5 |
Теперь ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях.
Отметим несколько закономерностей:
- гипербола имеет две асимптоты;
- ветви гиперболы симметричны относительно друг друга;
- для всех положительных вариантов х ветви размещаются в I или II четвертях;
- для всех отрицательных вариантов х ветви размещаются в III или IV четвертях;
- для всех положительных вариантов k ветви размещаются в I и III четвертях;
- для всех отрицательных вариантов k ветви размещаются во II и IV четвертях;
- чем меньше |x|, тем больше |y|;
- если точка (х, у) принадлежит одной из ветвей гиперболы, точка (-х, -у) будет принадлежать второй его ветви (так как они симметричны).
Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:
